Réflexion sur un paradoxe de Zénon d'Élée

Un des paradoxes de Zénon d'Élée sur l'impossibilité du mouvement (oui, oui, c'est bien ça), c'est celui d'Achille et de la tortue...

Supposons qu'une tortue se trouve dix mètres devant Achille. Ils font une course où la tortue part en avance. Achille parcourt facilement les dix mètres le séparant du point de départ de la tortue. Mais pendant qu'Achille franchissait cette distance, la tortue a avancé d'un mètre. Donc Achille est toujours en arrière de la tortue. Achille parcourt alors un mètre, mais pendant ce temps la tortue a continué d'avancer, ce qui fait que la tortue a toujours une légère avance. Et ainsi de suite... L'avance de la tortue se rétrécit toujours, mais il semble que jamais Achille ne peut la dépasser.

Pourtant le sens commun nous dit qu'Achille dépasserait sans problème la tortue!! Alors quoi?

En fait le paradoxe repose un sophisme subtil. Le paradoxe est construit de telle sorte qu'on présuppose qu'Achille sera toujours derrière la tortue. Comment est-ce possible? Si Achille ne ralentit pas, il finira par doubler la tortue, c'est évident. Le problème du paradoxe en fait, c'est qu'il suppose en quelque sorte que la tortue est comme un horizon: un point vers lequel on tend, mais qui se dérobe toujours, étant inaccessible. Mais cela n'est pas réaliste. En fait plutôt que de prendre comme point de repère la distance qui sépare Achille et la tortue, il vaut mieux introduire un autre point de répère: le départ d'Achille ou l'arrivée de la course. À partir de ce nouveau point de repère fixe, on pourra mesurer la distance des deux coureurs, et on constatera qu'Achille finit par dépasser la tortue.